Bukti Teori (Proof Theory) Bagian 1 : Philosophical Proof

Bukti, menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI) adalah sesuatu yang menyatakan kebenaran suatu peristiwa, keterangan nyata, tanda, maupun hal lainnya. Bukti juga digunakan dalam matematika. Ketika seorang ahli matematika mengemukakan sesuatu teori, maka diperlukanlah suatu bukti yang mendukung teori tersebut.

Suatu teori yang telah mempunyai bukti yang jelas, maka teori itu akan disebut sebagai teorema (theorem) , akan tetapi disaat suatu teori belum mempunyai bukti yang jelas, maka akan dianggap sebagai dugaan (conjecture). Proof theory, digunakan untuk membuktikan validitas suatu teori, statement, algoritma, ataupun formula.

Philosophical Proof, merupakan cara untuk membuktikan algoritma, pendapat, rumus atau theorema yang diajukan berdasarkan filosofi. Perhatikan contoh berikut ini.

Contoh 1 : Seseorang yang buang air besar, pastilah akan buang air kecil, tetapi tidak sebaliknya. Bagaimanakah caranya membuktikan pendapat tersebut dengan filosofi?

Jawabannya adalah karena seseorang saat makan pastilah minum, tetapi disaat seseorang minum, belum tentulah makan. 

Melihat contoh diatas, sebuah pendapat dijawab dengan filosofi, seperti itulah kira-kira Philosophical Proof. 

Bagaimana jika cara ini digunakan untuk matematika? Perhatikan contoh berikut.

Contoh 2 : Mengapa nol (0) dibagi dengan nol(0) disebut tak terdefenisi? 

Dalam matematika terdapat filosofi berikut. 

1. Jika nol(0) dibagi dengan bilangan apapun, maka hasilnya adalah nol(0). 
2. Jika bilangan apapun dibagi dengan nol(0), maka hasilnya adalah tidak terhingga.
3. Jika bilangan suatu bilangan dibagi dengan dirinya sendiri, hasilnya akan tetap satu (1).

Berdasarkan filosofi pertama, maka jika nol(0) dibagi dengan bilangan apapun, maka hasilnya akan nol(0). Lalu gantilah bilangan apapun tersebut menjadi nol(0), sehingga nol(0) dibagi dengan nol(0) hasilnya nol(0).

Berdasarkan filosofi kedua, maka jika bilangan apapun dibagi dengan nol(0), maka hasilnya akan tidak terhingga. Lalu gantilah bilangan apapun tersebut menjadi nol(0), sehingga nol(0) dibagi dengan nol(0) hasilnya tak terhingga.

Berdasarkan filosofi ketiga, maka jika suatu bilangan dibagi dengan dirinya sendiri, hasilnya akan tetap satu(1). Lalu gantilah suatu bilangan tersebut menjadi nol(0), sehingga nol(0) dibagi dengan nol(0) hasilnya satu(1).

Matematika adalah ilmu pasti, dimana segala sesuatu yang berada disebelah kanan tanda sama dengan sama dengan segala sesuatu yang berada di sebelah dikiri tanda sama dengan.

Jelas terlihat bahwa nilai nol(0) dibagi dengan nol(0) memiliki tiga nilai yang sama sekali berbeda. Jadi nilai nol(0) dibagi dengan nol(0) tidak dapat didefenisikan, maka dapat disebut sebagai "undefined" atau tidak terdefinisi.

Maka seperti itulah Philosophical Proof dalam membuktikan suatu teori, pendapat, rumus, maupun teorema.